中国古代数学的创新基因与现代价值

邹大海

中国古代科学技术是推动和支撑中华文明产生和持续发展的重要力量，也是中华文明的重要组成部分。数学是中国古代最发达的学科之一。

中国数学是东方数学特别是东亚数学的代表，形成了独具特色的思想文化传统。中国古代数学积淀下宝贵的数学思想基因库，不仅为当时各种物质和精神活动提供了必不可少的支撑，而且其中很多思想和方法沿用至今，影响到今天生产和生活的方方面面，并对现代科技和数学的发展具有借鉴与启迪作用。

国家典籍博物馆展出的《九章算术》刻本。视觉中国供图

数学体系丰富多元

不少人认为，中国古代数学只是应用问题集，没有理论，这是很大的误解。从远古时期对数、形的简单认识开始，经过漫长的发展，古代中国形成了内容丰富的数学知识。大体上说，中国古代数学可以分为基础知识、形数一体的纵横图、参考现实问题设计算法的实用算法式数学和探讨数学概念与命题的理论性数学。

基础性数学知识包括十进位值制记数法、九九口诀和四则运算、计算工具（算筹和算盘）及其基本用法等。

纵横图是选用一些自然数按特定方式排列而成的具有某些特性的图案。战国末期出现了三阶纵横图——九宫图，宋代出现了高阶纵横图及多种形状的变形图，后来又发展出更复杂的数字图案，且不限于平面结构。纵横图追求的是数字、几何结构和运算的完美结合，远远超出一般实用之需。

理论性数学讨论数学的概念、命题和推导，在百家争鸣的春秋战国已有较大发展。尽管大多数相关史料的佚失使其发展规模和程度难以论定，但现存墨家和名家的文献仍能反映出他们在几何、算术、无穷概念等方面做过理论探索，并涉及推理原则和悖论。秦至明代，理论性数学知识主要包含在对算经的注释中。比如刘徽的《九章算术注》界定了一些重要概念，建立并推导出少数基本定理，作为推导算法的基础。特别是他将无穷分割方法用于圆面积公式、刘徽原理的论证，用“率”的概念贯通不同的算法，可谓中国古代理论化数学的典范。

实用算法式数学知识在中国古代一直居于主流地位，其门类繁多，涉及面广。以《九章算术》的类别为基础，兼顾其他算书的分类，可以将这类知识分为方田、粟米、衰分、少广、均输、商功、盈不足、方程、勾股、堆垛、天元术、大衍、军旅等19个类别。它们服务于国家和社会的众多事务，如当时国家对土地面积的测量与管理，对赋税和财政的收取与分配，对工程的测算、计划和推进，对天文历法的推算，对军事行动的筹划与指挥，对地理目标的测量及地图绘制，对音律的校准，对度量衡的制定等。

按现代的分类，中国古代数学主要包括算术、代数、几何、数论、组合数学等几个方面。这些内容大部分属于初等数学，但也有一些属于高等数学，比如矩阵形式的线性方程组、高次方程数值解、一次同余式组解法、复杂的纵横图，以及关于无穷概念的认识等。

陕西历史博物馆展出的汉代铅算筹。视觉中国供图

积淀数理深厚底蕴

在积累丰富知识的基础上，中国古代数学形成了自己的特色和传统，沉淀了大量优秀的数学思想基因。

例如，印度—阿拉伯数字广泛应用于今天的日常生活和高端科研中，其记数原理是十进位值制。然而，商代甲骨文中已有基于十进制的文字记数法，其时也已有了九九口诀。大约在西周、春秋之交形成了基于十进位值制的算筹记数法。十进位值制与算筹记数法、九九口诀互相配合，形成了三位一体的知识结构，使中国古代数学长于计算。这一优势仍体现在今天国人的日常生活中。

将算筹记数法以位置表示数位的思想进行一系列创造性的发展，中国古代形成了以位置标识各种数学含义的一套位置示数法。以算筹表示和求解线性方程组是位置示数法在较早时期的体现。战国时期，中国发展出以算筹表示并求解线性方程组的方法，它与今天用增广矩阵表示和求解线性方程组的方法非常相似，领先世界两千多年。

位置示数法还用于一元高次方程和多元高次方程组的表示和求解。它具有后来代数符号的功能，但早于西方的代数符号数百年。虽然代数符号方法从16世纪末发展至今已远超位置示数法，但后者在某些方面仍具优势。

早在远古时代，中国古人就注意到奇数和偶数的不同。至晚在公元前1世纪便出现了勾股数组的通解公式。公元4—13世纪，中国发展出大衍总数术，形成一整套一次同余式组解法，它至今仍在数论研究中发挥着重要的作用。

纵横图由先秦九宫图发轫，到宋代已发展出复杂多样的平面纵横图，后又产生立体纵横图。古人从数列求和、隙积（按一定规则将若干物体堆砌而成的立体）问题发展出了处理高阶等差数列求和及其逆问题的方法。这些都是中国在组合数学方面做出的先驱性工作。组合数学在现代的发展已蔚为大观。

作为数学史上极重要的里程碑成果，微积分是历史积淀的产物。中国古人也为其作出了先驱性的贡献。如公元前400年前后墨家提出了无穷、有穷的界定和判断方法。与古希腊回避无穷概念不同，中国古人正视无穷，这更接近十七、十八世纪欧洲学者对待无穷概念的态度。墨家和名家有无限二分的思想，3世纪刘徽在割圆术和阳马术注中用到无穷分割，祖暅之公理中蕴含不可分量思想。这些都是中国在微积分前史时期的贡献。

中国古代用几何解释代数问题。比如用正方形、正方体的边来理解平方根、立方根；用图形的术语描述高次方程中未知量系数和常数项；用图形块来理解天元、四元术的表示与运算。这种代数和几何结合的方法，不同于后来西方的解析几何，但也非常有效。

汲取营养古为今用

清末民初社会剧变，使中国整个知识体系传统向现代转型，但传统数学并未消失，而是融入到了现代体系中。比如十进位值制、九九口诀、四则运算、比和比例、开方、面积和体积算法等已成为今天的基本知识，只是形式差异等原因使现代人很少知道其中国渊源。

从宋代发展起来的珠算到20世纪90年代仍是常用的计算方法，它同时具有心到、口到、手到的特点。现代学者以此为基础发展出珠心算，在计算机技术高度发达的今天，其仍发挥着计算和培养思维能力的作用。

历史上数学方法和思想的存续与佚失，并非都是优胜劣汰的结果。因此，仔细考察古代数学的思想和方法，可以从中发现和汲取有效的营养，为今所用。在这一方面，中国科学院院士、著名数学家吴文俊作出了表率。

1974年春，吴文俊在特殊历史条件下学习中国古代数学史。他很快认识到，中国古代数学有着重视列方程、解方程的传统，形成了系统理论，具有几何代数化的思想方法；其算法具有程序化、机械化和构造性特征。这启发了吴文俊通过建立坐标系将几何问题代数化，用方程和多项式理论来解决数学定理的机器证明问题。1976年底至1977年初，他的研究取得重大突破，后来他又进一步开创了数学机械化领域的新局面。可见，中国古代数学可以为现代数学提供思想和方法上的借鉴和启迪。

位置示数法通过在平面上不同位置摆放算筹来表示各种算式并进行运算，其中有蕴含深刻思想的简单操作。比如移动一张文字卡片的位置就可以表示将多项式的各项乘以或除以未知数的整数次幂，这比今天的代数符号表示法更具优势。

不过，古代无法将算筹摆放在竖直面上，这就使得超过四元的筹算操作法在古代难以实现。但现代计算机技术可以模拟三维空间结构，甚至能够可视化多维的空间结构。将现代计算机技术与古代位置示数法有机结合，有可能为数学发展提供新的思路。

比如，采用现代的符号表示法与位置示数法表示各种算式，同时将算式置于特定的空间位置表示相应的含义，再根据问题类型的不同性质和条件，设计不同位置上算式之间的运算法则，从而在发挥位置功能的同时，既能突破四元术由于所利用的维数少而导致未知量个数上的限制，又能充分发挥代数符号表示法的既有优点，从而为数学研究提供可能的新途径。

总之，中国古代有着丰富的数学思想和方法，充分挖掘其中的优秀基因，并与现代科技有机结合，可以为新时代的文化建设和科技发展提供新的动力。

（作者系中国科学院自然科学史研究所研究员）

责任编辑：沈世乔

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